Анне Вески родилась 27 февраля 1956 года в эстонском городке Рапла. Девичья фамилия — Ваарман.
Отец, Ильмар-Тынис, работал водителем. Мать, Эллен, была продавщицей. Оба увлекались творчеством и играли на народных инструментах, но зарабатывали обычными профессиями, и музыкальная карьера дочери в семейные планы не входила.
В Рапла Анне вместе с братом Мати училась в музыкальной школе. Дети собрали свой коллектив и выступали сами, без взрослых. Брат тоже остался в музыке и стал клавишником.
Окончив музыкальную школу, Анне поступила в Таллинский политехнический институт.
После института она работала на заводе. Это и был её первый настоящий трудовой опыт: не сцена, не филармония, а обычная работа по распределению.
Параллельно её приняли в эстрадную студию при Филармонии, и она начала выступать с ансамблем «Мобиле». Потом были группы «Витамин» и «Мюзик Сейф».
Первая эстрадная композиция вышла в 1980 году и называлась «Королева розового сада».
Дальше всё пошло быстро.
В 1979-м состоялись первые зарубежные гастроли — в Польше. В том же году её впервые показали по Центральному телевидению, в передаче «Шире круг».
В 1980-м эстонское радио вручило певице символический золотой диск. Тогда же ей дали первый сольный концерт в Москве, и сразу на сцене Московского эстрадного театра.
Концерт прошёл с аншлагом. Столичная публика приняла эстонскую певицу восторженно, а в прессе появились первые рецензии, и все они были положительными.
В 1981 году по заказу Центрального телевидения сняли музыкальный телефильм «Снежные напевы» — картину показывали многократно, и она стала кульминацией успеха.
А в 1983 году, во втором телефильме, «Золото осени», впервые прозвучала песня Игоря Саруханова «Позади крутой поворот».
Именно она стала визитной карточкой Анне Вески — и остаётся ею до сих пор.
Осенью того же года певица стала лауреатом Первого смотра творческой молодёжи СССР. По итогам хит-парада газеты «Московский комсомолец» она заняла среди певиц второе место в стране. Первое досталось Алле Пугачёвой.
От заводского цеха до второй строчки всесоюзного хит-парада — три года.
